Matriz Escalonada

En álgebra lineal una matriz se dice que es escalonada, escalonada por filas o que está en forma escalonada si:

1. Todas filas cero están en la parte inferior de la matriz.
2. El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, está a la derecha del pivote de la fila anterior (esto supone que todos los elementos debajo de un pivote son cero).,¹ es decir, si para cada fila i, s_i=min{j/a_ij<>0}, se verifica que a_i,j=0 para toda columna j<s_i y que a_{i+1, j}=0 para toda columna j<=s_i

Si en cada fila el pivote es el único elemento no nulo de su columna, se dice que es escalonada reducida por filas.

Toda matriz  es equivalente por filas a una matriz escalonada reducida por filas, la cual es única.

Por otro lado, la cantidad de filas no nulas o filas con pivotes de una matriz escalonada y de su escalonada reducida por filas es el mismo, lo que cambia es su valor numérico ya que en la matriz escalonada el pivote tiene cualquier valor mientras que en la escalonada reducida es uno.

Además, una matriz cualquiera escalonada o escalonada reducida por filas puede tener:

- Todas sus filas no nulas (filas con pivotes),

- Algunas de sus filas no nulas (con pivotes) y otras nulas (sin pivotes)

- Todas sus filas nulas (sin pivotes).

Pero, si la matriz escalonada o escalonada reducida por filas proviene de una reducción de filas entonces solo pueden suceder dos casos:

- Todas sus filas son no nulas (con pivotes), o

- Algunas de sus filas son no nulas (con pivotes) y otras nulas (sin pivotes).

Por lo tanto, el número mínimo de filas no nulas o filas con pivotes, que puede tener una matriz escalonada o escalonada reducida proveniente de reducción por filas es uno ya que no existen operaciones elementales posibles que anulen a todas las filas de la matriz. Este número se conoce como rango de una matriz.