Matriz Ortogonal

Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta. El conjunto de matrices ortogonales constituyen una representación lineal del grupo ortogonal ${\displaystyle \scriptstyle O(n,\mathbb {R} )}$.

Geométricamente las matrices ortogonales representan transformaciones isométricas en espacios vectoriales reales (o más exactamente espacios de Hilbert reales) llamadas justamente, transformaciones ortogonales.

Estas transformaciones son isomorfismos internos del espacio vectorial en cuestión. En el caso real dichas transformaciones pueden ser rotaciones, reflexiones especulares o inversiones y son usadas extensivamente en computación gráfica. Por sus propiedades, también son usadas para el estudio de ciertos fibrados y en física se las usa en el estudio del movimiento de cuerpos rígidos y en la formulación de ciertas teorías de campos.

Una matriz es ortogonal si verifica que: A·A^t = I.

Ejemplo:

Supongamos que la matriz de números reales

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

es ortogonal y su determinante es +1 ó -1.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}$

Por lo que: ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1,\quad ac+bd=0,\quad c^{2}+d^{2}=1}$

Así que los números ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ y ${\displaystyle d}$satisfacen además la propiedad que la suma de sus cuadrados vale 1. Por lo tanto, existen un par de números reales ${\displaystyle \theta }$ y ${\displaystyle \phi }$ para los cuales

${\displaystyle a=\cos \theta \quad b=\sin \theta \quad b\quad c=sin\phi \quad d=cos\phi .}$

Por lo tanto, sustituyendo en ${\displaystyle ac+bd=0}$ queda: ${\displaystyle cos\theta sin\phi +sin\theta cos\phi =0}$

Y ${\displaystyle tan\phi =-tan\theta }$ Entonces, se cumple que ${\displaystyle sin\phi =-sin\theta \quad o\quad cos\phi =-cos\theta }$

Concluimos que: toda matriz ortogonal de tamaño 2 puede escribirse como

${\displaystyle M_{1}={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$

con ${\displaystyle \theta }$ real y

${\displaystyle M_{2}={\begin{pmatrix}\cos \phi &\sin \phi \\\sin \phi &-\cos \phi \end{pmatrix}}}$ con  real