Matriz Inversa

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A⁻¹, tal que: ${\displaystyle A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_{n}}$, donde I_n es la matriz identidad de orden ny el producto utilizado es el producto de matrices usual.

Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinante es nulo. La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Propiedades de la matriz inversa

(A · B)^-1  = B^-1 · A^-1

(A^-1)^-1  = A

(k · A)^-1  = k^-1 · A^-1

(A ^t)^-1  = (A ^-1)^t

El producto de una matriz por su inversa es igual al matriz identidad.

A · A^-1  = A^-1 · A = I

Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos:

1º Cálculo por determinantes

Ejemplo

1. Calculamos el determinante de la matriz, 
en el caso que el determinante sea nulo la matriz 
no tendrá inversa.

2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la 
que cada elemento se sustituye por su adjunto.

3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

4. La matriz inversa es igual al inverso del 
valor de su determinante por la matriz traspuesta 
de la adjunta.

2º. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular 
la matriz inversa de A, que denotaremos como A^-1, 
seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, 
A está en la mitad izquierda de M y la matriz 
identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2º Utilizando el método Gauss vamos a 
transformar la mitad izquierda, A, en la matriz 
identidad, que ahora está a la derecha, 
y la matriz que resulte en el lado derecho
 será la matriz inversa: A^-1.

F₂ - F₁

F₃ + F₂

F₂ - F₃

F₁ + F₂

(-1) F₂

La matriz inversa es: